Normalerweise wird die Batterie von der Lichtmaschine geladen.
Wenn die Batterie aber so tiefentladen wurde wie es bei Ihnen der Fall zu sein scheint dann kann es sein das die einzelnen Zellen der Batterie zerstört wurden, das also die Batterie die Ladung die von der der Lichtmaschine geliefert wird nicht mehr aufnehmen kann, - also einfach leer bleibt.
Zwar kann man den Wagen dann eventuell mit Starthilfe durch ein anderes Fahrzeug noch starten, aber eben nur eventuell.
Ob die Batterie nun der ADAC einbaut oder die Werkstatt bleibt sich prinzipiell gleich, diese Batterien haben bestimmte Werte und wenn die eingehalten werden dann ist es egal wer die einbaut.
Natürlich würde gerne die Werkstatt die Batterie verkaufen - ist ja schließlich deren Gewinn.
Aber da vermutlich eh eine Überprüfung bzw neueinstellung der Elektronik (ZV, Wegfahrsperre...) und ein Satz neue Reifen fällig ist kann man die Batterie ruhig auch die Werkstatt machen lassen.
Losfahren würde ich mit dem Wagen so jedenfalls nicht, selbst wenn man ihn mit Starthilfe zum Anspringen brächte.
Mit der "angeschlagenen" und nicht wieder aktivierten und eingestellten Elektronik kann es da evtl. zu dummen überaschungen kommen, - stehenbleiben im unpassendsten Augenblick ist nur eine davon.
P.S.
Falls man keinen zweiten, alten Satz Räder zum Überwintern besitzt ist Aufbocken auf Bierkästen oder Kanthölzer oder ähnliches tatsächlich eine gängige Maßnahme um den Wagen reifenschonend überwintern zu lassen!