Nein, nicht korrekt dargestellt.
Im Schuldrecht gibt zwar die grundsätzliche Möglichkeit der sogenannten "Ersatzvornahme" - jemand anderen mit der Schadensbeseitigung beauftragen und dann dessen Rechnung beim Schuldener beitreiben - allerdings hat diese Grundsätzlichkeit der Ersatzvornahme ein paar Ausnahmen:
Eine dieser Ausnahmen ist es, wenn das entsprechende Gesetz eine Ersatzvornahme ausschließt, und genau das liegt hier vor.
Im Gesetz steht, dass der Verkäufer den Sachmangel kostenlos beseitigen muss - und damit ist dann eine Ersatzvornahme ausgeschlossen.
Würde dort stehen, dass der Käufer ein Recht auf ein Sachmangel-freies Fahrzeug hat, dann wäre es etwas anderes.
Aufgrund der Formulierung in der Sachmangelhaftung des BGB hat der Käufer keine Rechte, sondern der Verkäufer hat Pflichten.
Und wenn der Käufer kein Recht auf ein mängelfreies Fahrzeug hat, dann kann er auch nicht so einfach woanders hin gehen, sich die Mängel in einer anderen Werkstatt beseitigen lassen und die Rechnung beim Verkäufer einklagen/ einkassieren.
Da hier nur die Pflicht des Verkäufers existiert, ist der Weg deutlich anderes:
Kommt der Verkäufer nicht seiner Pflicht nach, dann entsteht dem Käufer ein Schaden, den der Verursacher dieses Schadens (der Verkäufer) zu erstatten hat.
Der dadurch entstandene Schaden ist aber nur der Schaden selbst; bei einer "Fremdrechnung" ist aber nicht nur der Schaden beziffert, sondern auch der Gewinn der Werkstatt.
Eine "Fremdrechnung" oder auch schon der Kostenvoranschlag einer fremden Werkstatt muss nicht vom Verkäufer akzeptiert werden, da diese Summen auch den Gewinn der fremden Werkstatt beinhalten. Der Verkäufer muss den Sachmangel kostenlos beseitigen, aber nicht fremde Gewinne bezahlen.
Abgesehen davon, dass eine fremde Werkstatt auf ihre Leistung dann ebenso eine Sachmangelhaftung gegenüber dem Auftraggeber hat, dafür Rücklagen bildet und dann wahrscheinlich auch nur Neuteile verbauen wird - wo vielleicht allein eine gründliche Rostentfernung und Abschmieren eine fach- und sachgerechte Mängelbeseitigung darstellen würde.
Somit muss hier ein Sachverständiger ein Gutachten erstellen, in welcher Höhe der Sachmangelschaden liegt; jedoch nicht die Reparaturkosten mit Neuteilen in einer Vertragswerkstatt - und genau diesen Betrag hat dann der Verkäufer dem Käufer zu erstatten.
Das Druckmittel gegen den Verkäufer besteht darin, dass man nach zwei vergeblichen Reparaturversuchen mit Anwalt und Gutachter kommen kann und der Verkäufer diese Kosten dann auch zu tragen hat.
Allerdings kann man die nicht einfach so aus dem Hut zaubern, sondern muss das auch mit Fristsetzung und Co. ankündigen, "androhen".